Nederlands, Dutch:

Stel dat de bol straal 1 heeft, dus oppervlakte 4*pi.
De oppervlakte van de twee maanvormige gebieden ingesloten door de lijnen (grote cirkels) AB en AC is 2*(alpha/360)*4*pi.
Zo heeft men ook nog twee maanvormige gebieden ingesloten door BA en BC, en twee ingesloten door CA en CB.
De zes maanvormige gebieden overdekken de bol, maar driehoek ABC en zijn tegenligger driehoek A'B'C' worden dan driemaal overdekt.
Dus de som van de oppervlakten van de zes maanvormige gebieden is enerzijds gelijk aan (alpha+beta+gamma)*4*pi/180, en anderzijds ook gelijk aan 4*pi + 4*opp(ABC).
Hieruit volgt dat opp(ABC) = (alpha+beta+gamma)*pi/180 - pi = hoekexces.


English, Engels:

Suppose the sphere has radius 1, so area 4*pi.
The area of the two moon-shaped regions confined by the lines (great circles) AB and AC is 2*(alpha/360)*4*pi.
Likewise, we have two more moon-shaped regions confined by BA and BC, and yet two more confined by CA and CB.
These six moon-shaped regions cover the sphere, but triangle ABC and its opposite triangle A'B'C'are then covered three times.
So the sum of the areas of the six moon-shaped regions is on the one hand equal to (alpha+beta+gamma)*4*pi/180, and on the other hand also equal to 4*pi + 4*area(ABC).
Hence we find: area(ABC) = (alpha+beta+gamma)*pi/180 - pi = angle excess.