12. DE EERSTE FUNDAMENTAALVORM

Toelichting 103 : We moeten het eerst hebben over differentialen.
Als f = f(x) dan df = f '(x) dx ; bv als f = cos(x) dan df = -sin(x) dx ; df is hier de eerste orde benadering van Δf := f(x+dx) - f(x) (bereken df en Δf in het voorbeeld, voor x = π/2, dx = 0.001).
Als f = f(x,y) dan df = f_xdx + f_ydy ('totale differentiaal') ; bv als f = x/y dan df = (1/y)dx -(x/y²)dy ; df is hier de eerste orde benadering van Δf := f(x+dx,y+dy) - f(x,y).

Toelichting 104 : We moeten het nu hebben over krommen op het oppervlak.

De beeldkromme heeft parametrisering x(u₁(t),u₂(t)), kort x(t).
Voor de booglengte s van x(t) geldt ds/dt = ||x '(t)|| = ||x_u1 du₁/dt + x_u2 du₂/dt|| ; hieruit volgt (ds)² = x_u1 du₁ . x_u1 du₁ + 2 x_u1 du₁ . x_u2 du₂ + x_u2 du₂ . x_u2 du₂.

Definitie 105 : Men definieert de eerste fundamentaalvorm van het oppervlak als (ds)² = a_{1 1} (du₁)² + 2 a_{1 2} du₁ du₂ + a_{2 2} (du₂)², waarbij a_{i j} = x_ui . x_uj.

Voorbeelden 106 :

Plat vlak: x(u,v) = (u,v,0). Dan (ds)² = (du)² + (dv)² ; dit komt overeen met de stelling van Pythagoras.
Bol: x(u,v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u) ; hier is (ds)² = (du)² + sin²u (dv)² ; zie het plaatje onderaan deze paragraaf 12.
Grafiek van een functie: x(u,v) = (u,v,f(u,v); dan is (ds)² = (1+f_u²) (du)² + 2 f_uf_v du dv + (1+f_v²) (dv)².

Voor elk oppervlak geldt: in de punten waar de parameterlijnen loodrecht op elkaar staan is a_{1 2} = 0.

Toelichting 107 : We zullen nu bespreken dat de eerste fundamentaalvorm de metriek van het oppervlak bepaalt:

i) De booglengte van een kromme op het oppervlak, zeg x(u₁(t),u₂(t)), t ∈ (t₀,t₁), is _s(t0)∫^s(t₁) ds = _t0∫^t₁ ds/dt dt = _t0∫^t₁ √(Σ a_{i j} du_i/dt du_j/dt) dt.
ii) De hoek tussen twee krommen op het oppervlak, zeg x(a₁(t),a₂(t)) en x(b₁(t'),b₂(t')), is φ met
cos(φ) = (x_u1 da₁/dt + x_u2 da₂/dt) . (x_u1 db₁/dt' + x_u2 db₂/dt' ) / ( || x_u1 da₁/dt + x_u2 da₂/dt || || x_u1 db₁/dt' + x_u2 db₂/dt' || ) =
= ( a_{1 1} + a_{1 2} db₂/db₁ + a_{2 1} da₂/da₁ + a_{2 2} da₂/da₁ db₂/db₁ ) / ( √(a_{1 1} + 2 a_{1 2} da₂/da₁ + a_{2 2} (da₂/da₁)²) √(a_{1 1} + 2 a_{1 2} db₂/db₁ + a_{2 2} (db₂/db₁)²) ).

iii) De oppervlakte van een gebied op het oppervlak, zeg x(u₁,u₂) ((u₁,u₂) ∈ G), is
∫ ∫ _x(G) dσ = ∫ ∫ _G || x_u1 ⊗ x_u2 || du₁du₂, waarbij de integrand ook gelijk is aan √(a_{1 1} a_{2 2} - a_{1 2}²).

Booglengte, hoek en oppervlakte zijn dus grootheden die berekend worden met behulp van de coëfficiënten van de eerste fundamentaalvorm en grootheden die in het u₁,u₂-vlak berekend worden ; daarom heten ze 'intrinsieke grootheden'.
Uit de nu volgende definitie en toelichting zal duidelijk worden waarom ze ook 'buigingsinvarianten' heten.

Definitie 108 : Beschouw het volgende plaatje (x¹ en x² zijn differentieerbaar):

Als de oppervlakken x¹(u₁,u₂) en x²(u₁,u₂) dezelfde eerste fundamentaalvorm hebben, heten ze verbuigingen van elkaar, en de afbeelding x² o (x¹) ^-1 heet isometrie.

Toelichting 109 : Reken na dat de rechte cirkelcylinder x(u,v) = (cos u, sin u, v) een verbuiging is van het platte vlak (u,v,0); als men op een blad papier een gebied arceert en twee krommen tekent, dan geldt na oprollen van het papier tot een rechte cirkelcylinder dat de oppervlakte van het gearceerde gebied, de lengten der krommen, en de hoek tussen de krommen in het snijpunt gelijk zijn gebleven.

Opgave 110 : Bereken de hoek tussen de krommen (t² cos(t³), t² sin(t³), 2t²) en (t³ cos(t²), t³ sin(t²), 2t³) op het omwentelingsoppervlak (u cos v, u sin v, 2u) in het punt met parameterwaarde t=1.
Doe dit eerst op de directe manier en daarna met behulp van de eerste fundamentaalvorm.

Opgave 111 : Beschouw het oppervlak V met parametrisering (u+v, u²+v², uv). Bewijs dat de punten op V waar de parameterlijnen loodrecht op elkaar staan op een parabool liggen.

Opgave 112 : Bereken de oppervlakte van het gedeelte van de bol met middelpunt (0,0,0) en straal 1 gelegen tussen de breedtecirkels θ = θ₁ en θ = θ₂ door gebruik te maken van de eerste fundamentaalvorm.

Opgave 113 : Laat zien dat de rechte cirkelkegel u(cos v, sin v, 1) (puntzak voor frieten) een verbuiging is van een plat vlak (gebruik aanvankelijk voor de parametrisering van het platte vlak poolcoördinaten u en v, en pas die wat aan).

uitwerkingen