CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE


16. NORMALE KROMMING


Definitie 139 : Zij x(s) = x(u1(s),u2(s)) een kromme op het oppervlak x(u1,u2).
Dan heet k = (x ..) . N (waarbij x .. de kromtevector is in de richting van de hoofdnormaal n, en N de oppervlaktenormaal van lengte 1 in de richting van xu1xu2) de normale kromming van deze kromme met betrekking tot het beschouwde oppervlak in het beschouwde punt. Er geldt k = κ n . N, waarbij κ de (gewone) kromming van de kromme.


Stelling 140 (MEUSNIER) :
Krommen door een gegeven punt op het oppervlak die aldaar dezelfde raaklijn hebben, hebben ook dezelfde normale kromming in dat punt, namelijk
k = (h1 1(du1)2 + 2 h1 2 du1 du2 + h2 2(du2)2) / (a1 1(du1)2 + 2 a1 2 du1 du2 + a2 2(du2)2).

Bewijs : (x ..).N = (xu1 u1 .. + xu2 u2 .. + xu1u1 (u1 .)2 + 2 xu1u2 (u1 . u2 .) + xu2u2 (u2 .)2) . N = h1 1(du1)2 + 2 h1 2 du1 du2 + h2 2(du2)2.

Toelichting 140A : De kromming van de snijkromme van een vlak door N met het oppervlak is de normale kromming in die richting, immers dan geldt k = (x ..) . N = κ N . N = κ, omdat de hoofdnormaal dan tevens oppervlaktenormaal is.

Toelichting 141 : Uit 140 volgt ook nog
+1 = h1 1((du1/ds)(1/√|k|))2 + 2 h1 2 du1/ds(1/√|k|) du2(1/√|k|) + h2 2((du2/ds)(1/√|k|))2.
Men vindt de indicatrix dus ook door in elke richting in het raakvlak het punt op afstand 1/√|k| te nemen (immers, xu1du1/ds + xu2du2/ds is eenheidsvector).
Dus k=0 geeft de asymptotische richtingen.
Een kromme op het oppervlak die in elk punt een asymptotische richting heeft, heet asymptotische lijn van het oppervlak. Een eenvoudig voorbeeld van een asymptotische lijn is een rechte lijn op het oppervlak.
Het net der asymptotische lijnen wordt dus gegeven door h1 1(du1)2 + 2 h1 2 du1 du2 + h2 2(du2)2 = 0.

Stelling 142 : Indien een kromme op het oppervlak in een bepaald punt een asymptotische richting heeft, dan vallen in dat punt het osculatievlak en het raakvlak samen (of de kromme is een rechte).

Bewijs : Het osculatievlak heeft vectorvoorstelling xo + λ x . + μ x .. met N loodrecht op x . en (omdat k=0) ook op x .. .

Stelling 143 : Een oppervlak is precies dan een plat vlak als de tweede fundamentaalvorm overal identiek 0 is (k=0 in elk punt in elke richting).

Bewijs : Reken zelf na dat de tweede fundamentaalvorm van een plat vlak (u,v,a+bu+cv) in elk punt identiek 0 is.
Stel omgekeerd dat de normale kromming overal in elke richting 0 is.
Uit xui . N = 0 volgt xuiuj . N = -xui . Nuj, dus met hi j = 0 volgt dat xui loodrecht staat op Nuj voor i,j=1,2.
Omdat N . N = 1 volgt N . Nuj = 0, dus Nuj staat loodrecht op xu1, xu2 en N, dus Nuj = 0 (j=1,2), dus N is constant.

Toelichting 144 : Een punt waar de tweede fundamentaalvorm de nulvorm is (h1 1 = h1 2 = h2 2 = 0, dus k=0 in elke richting), heet planair punt.

Opgave 145 : Voor welk omwentelingsoppervlak geldt dat de indicatrix in elk regulier punt een orthogonale hyperbool is? (Vgl 138.)
Uitkomst: de catenoïde, omwentelingsoppervlak van de kettinglijn).


Extra Opgave :
Gegeven is het oppervlak x(u,v) = (u2, uv, v2).
a) Beschrijf de parameterlijnen: wat zijn dat voor figuren?
b) Geef de eerste fundamentaalvorm alsmede een vergelijking voor de verzameling der punten op het oppervlak waar de parameterlijnen loodrecht op elkaar staan. Wat is dit voor figuur?
c) Geef de tweede fundamentaalvorm en de indicatrix van Dupin. Bewijs dat elk niet-singulier punt parabolisch is. Wat is de indicatrix dus voor figuur? Geef de asymptotische lijnen middels een parametervoorstelling.
d) Geef de differentiaalvergelijking voor de orthogonale trajectoriën van de u-lijnen. Merk op dat deze homogeen is. Substitueer dus u = vw, en scheid de variabelen. Vind de orthogonale trajectoriën middels een verband tussen u en v.
e) Geef een vergelijking voor het oppervlak en bewijs dat het een halve kegel is door top en richtkromme te geven. Reken na dat langs elke regel het raakvlak constant is.
f) Laat zien dat λ(t2,t,1) een andere parametrizering van hetzelfde oppervlak is. Vind de orthogonale trajectoriën van de regels. Interpreteer.


uitwerkingen


HOME