17. KROMTELIJNEN

Definitie 146 : In het algemeen zijn er in een punt op het oppervlak twee richtingen waar de normale kromming extreem is, namelijk die van de hoofdassen van de indicatrix van Dupin.
Men spreekt van hoofdrichtingen en hoofdkrommingen. Een kromtelijn is een kromme op het oppervlak waarvan de richting in elk punt een hoofdrichting is.

Toelichting 147: In planaire punten en navelpunten is elke richting hoofdrichting, dus op bollen en platte vlakken is elke kromme een kromtelijn.
In het algemeen echter vormen de kromtelijnen een orthogonaal net.

Stelling 148: De differentiaalvergelijking voor het net der kromtelijnen is (met 'Einstein notatie conventie')

(a_1αh_2β - a_2αh_1β) du^α du^β = 0.

Bewijs: Neem in elke richting, bepaald door het quotiënt du₂/du₁, het punt (du₁,du₂) op de ellips a_{1 1} du₁² + 2 a_{1 2} du₁ du₂ + a_{2 2} du₂² = 1.
Men kan dan de hoofdrichtingen vinden met behulp van de stelling van Lagrange:
de extremen van k = h_{1 1} du₁² + 2 h_{1 2} du₁ du₂ + h_{2 2} du₂² onder de voorwaarde a_{1 1} du₁² + 2 a_{1 2} du₁ du₂ + a_{2 2} du₂² = 1 worden gevonden in richtingen (du₁,du₂) waar
(2 h_{1 1} du₁ + 2 h_{1 2} du₂, 2 h_{1 2} du₁ + 2 h_{2 2} du₂) evenredig is aan (2 a_{1 1} du₁ + 2 a_{1 2} du₂, 2 a_{1 2} du₁ + 2 a_{2 2} du₂).
De hoofdrichtingen worden dus gevonden uit (h_{1 1} du₁ + h_{1 2} du₂)(a_{1 2} du₁ + a_{2 2} du₂) = (h_{1 2} du₁ + h_{2 2} du₂)(a_{1 1} du₁ + a_{1 2} du₂).
Dit is precies de vergelijking uit de stelling.

Definitie 149 : Het product der hoofdkrommingen k₁ en k₂ heet totale kromming, dus k_tot = k₁.k₂.
De som der hoofdkrommingen heet middelbare kromming.

Stelling 150 : De hoofdkrommingen worden gevonden door de vergelijking det(h_{i j} - k a_{i j}) = 0.

Bewijs: Voor de hoofdrichtingen (du₁,du₂) (die niet (0,0) zijn) geldt dat λ bestaat zo dat
(h_{1 1} - λa_{1 1}) du₁ + (h_{1 2} - λa_{1 2}) du₂ = 0,
(h_{1 2} - λa_{1 2}) du₁ + (h_{2 2} - λa_{2 2}) du₂ = 0.
Maar λ is dan hoofdkromming: als men de eerste vergelijking vermenigvuldigt met du₁ en de tweede met du₂, en dan de vergelijkingen bij elkaar optelt, dan vindt men dat k = λ voldoet aan de vergelijking van Meusnier (zie stelling 140).

Stelling 151 : De totale kromming voldoet aan k_tot = det(h_{i j})/det(a_{i j}). In verband met definitie 134 ziet men aan het teken van k_tot wat voor punt men heeft.

Bewijs:Dit volgt eenvoudig uit het feit dat de vierkantsvergelijking uit stelling 150 luidt: k²(det(a_{i j}) + k(...) + det(h_{i j}) = 0.

Toelichting 151A : Volgens een stelling van Gausz (door hemzelf 'theorema egregium' genoemd), die we hier niet bewijzen, is de totale kromming een buigingsinvariant.
Voor de oppervlakken die isometrisch zijn met een plat vlak geldt dus dat de totale kromming overal 0 is (elk punt is parabolisch).

Stelling 152 : De parameterlijnen zijn dan en slechts dan kromtelijnen als h_{1 2} en a_{1 2} overal 0 zijn.

Bewijs: Als de parameterlijnen kromtelijnen zijn, vormen zij een orthogonaal net, dus a_{1 2} = 0. De differentiaalvergelijking van stelling 148 wordt dan: a_{1 1} h_{2 1} du₁ du₁ + (...) du₁ du₂ - a_{2 2} h_{1 2} du₂ du₂ = 0.
Dit is dan en slechts dan de differentiaalvergelijking du₁ du₂ = 0 voor het net der parameterlijnen als a_{1 1} h_{2 1} = a_{2 2} h_{1 2} = 0, dus (uitgaande van reguliere punten) als h_{1 2} = 0.

Opgave 153 : Bepaal de schroefoppervlakken (zie 125) waarvoor de meridiaankrommen kromtelijnen zijn.
(Oplossing: behalve alle omwentelingsoppervlakken voldoen alleen de schroefoppervlakken met f(u) = + _c∫^u √(c²-y²)/y dy ; de voortbrengende kromme (u,0,f(u)) heet dan tractrix.)

Opgave 154 : Bepaal de kromtelijnen van de torus.

Opgave 155 : Laat zien dat bij omwentelingsoppervlakken meridiaankrommen en parallelcirkels kromtelijnen zijn.

Opmerking 156 : Zijn drie stelsels oppervlakken gegeven zo dat door elk punt van ℜ³ van elk stelsel één exemplaar gaat, terwijl deze drie exemplaren elkaar twee aan twee loodrecht snijden, dan spreekt men van een tripelorthogonaal stelsel.
Volgens een stelling van Dupin snijden deze oppervlakken elkaar volgens kromtelijnen.

uitwerkingen