19. AFWIKKELING

Definitie 167 : Een oppervlak heet afwikkelbaar indien het een verbuiging is van een plat vlak.

Stelling 168 : Een regeloppervlak waarvan het raakvlak langs elke regel constant is, is afwikkelbaar.

Bewijs: Laat z(s) een orthogonale trajectorie zijn van de regels, geparametrizeerd volgens booglengte s.
Zij v(s) eenheidsnormaal in de richting van de regel, zodat y(s,u) = z(s) + u v(s) parametrizering is van het regeloppervlak.
Omdat het raakvlak langs de regel constant is, dus bij elke s hetzelfde voor alle u, liggen v ' , z ' en v alle drie in het richtvlak van het raakvlak.
Omdat ||v|| = 1, is v ' loodrecht op v, evenals de richtingsvector z ' van de orthogonale trajectorie.
Dus v ' (s) = λ(s) z ' (s). Men rekent nu eenvoudig na dat a_{1 1} = (1+uλ)², a_{1 2} = 0, en a_{2 2} = 1.
Teken nu een vlakke kromme x(s) met κ(s) = -λ(s), en zij n(s) de hoofdnormaalvector van x(s). Volgens Frenet is n ' = -κ x ' = λ x ' .
Reken na dat y(s,u) → x(s) + u n(s) een isometrie is van het regeloppervlak naar het platte vlak van x(s). Hiertoe hoeft u alleen nog maar de eerste fundamentaalvorm van dit vlak bij deze parametrizering te berekenen.

Toelichting 169 : De kromme x(s) heet spoorkromme van z(s), en wordt verkregen als afdruk van z(s) indien men z(s) met natte inkt op het regeloppervlak tekent en het oppervlak over het platte vlak rolt. Omdat het raakvlak langs de regel constant is, geeft dit rollen ook de isometrie (afwikkeling).

Opmerking 170 : Stelling 168 is omkeerbaar. Zie voorts ook 163 en 164.

Opgave 171 : Controleer de volgende beweringen in de context van het bewijs van 168.
i) Voor de tweede fundamentaalvorm vinden we h_{1 1} = (1+uλ) z ". N , h_{1 2} = v ' . N = 0, h_{2 2} = 0 . N = 0.
ii) Volgens 152 zijn z(s) en de regels kromtelijnen.
iii) Volgens 141 zijn de regels asymptotische lijnen. De totale kromming is overal 0 (zie 151). Elk punt is parabolisch (zie 134 2) ).