20. OMHULLING

Toelichting 172 : We hebben gezien dat een afwikkelbaar oppervlak ∞¹ raakvlakken bepaalt, namelijk bij elke regel één.
Zij nu omgekeerd een stelsel van ∞¹ vlakken gegeven: α(t) is het vlak met parameterwaarde t. Neem aan dat deze vlakken niet door één rechte gaan, en ook niet allemaal evenwijdig zijn.
Natuurlijk hangt de normaal van α(t) weer oneindig vaak differentieerbaar van t af. Zo ook een steunvector.
We zullen zien dat de vlakken α(t) de raakvlakken zijn van een afwikkelbaar oppervlak (zij "omhullen" dit oppervlak).
In bijzondere gevallen is dit oppervlak een cylinder of een kegel, maar in het algemeen een raaklijnenoppervlak. Zie ook 177, 178, 179.

Definitie 173 : Zij α(t) het vlak x . n(t) = c(t) (n en c voldoende vaak differentieerbaar).
De karakteristieke lijn bij parameterwaarde t is de limiet l(t) van de snijlijn van α(t) en α(t') als t'→ t.
Het karakteristieke punt op l(t) is de limiet van het snijpunt van l(t) met α(t') als t'→ t.

Stelling 174 : De karakteristieke lijn wordt gegeven door x . n(t) = c(t), x . n ' (t) = c ' (t).
Het karakteristieke punt wordt gegeven door x . n(t) = c(t), x . n ' (t) = c ' (t), x . n " (t) = c " (t).

Opgave 175 : Bewijs stelling 174 door gebruik te maken van de Taylorontwikkeling van d(t) = x . n(t) - c(t).

Stelling 176 : De karakteristieke lijnen van een stelsel vlakken α(t) vormen een afwikkelbaar oppervlak, waaraan de vlakken α(t) raken. In het algemeen is dit een raaklijnenoppervlak met als keerkromme de kromme gevormd door de karakteristieke punten.

Bewijs: Zij x(t) het karakteristieke punt bij parameterwaarde t, en l(t) de karakteristieke lijn.
Differentiatie van x . n = c geeft x ' . n + x . n ' = c ' , dus ook x ' . n = 0.
Evenzo geeft differentiëren van x . n ' = c ' weer x ' . n ' = 0. Dus x ' is richtingsvector van de karakteristieke lijn.
Dus de karakteristieke lijn raakt in het karakteristieke punt aan de kromme gevormd door de karakteristieke punten.
Door differentiëren van x ' . n = 0 volgt x " . n + x ' . n ' = 0, dus x " . n = 0.
Het vlak α(t) bevat dus het punt x(t) en heeft x ' (t) en x " (t) tot richtingsvectoren. Het is dus osculatievlak. Volgens stelling 142 is dit osculatievlak tevens raakvlak.

Toelichting 177 : We zijn er stilzwijgend van uitgegaan dat det( n, n ' , n " ) ≠ 0 en dat x ' ≠ 0. De nu volgende opgaven 178 en 179 vullen het bewijs aan.

Opgave 178 : Indien n ' en n evenredig zijn, is n evenredig met een vaste vector (aanwijzing: laat zien dat (n/||n||) ' = 0).
Indien n " = λn + μn ' , is a := n ⊗ n ' evenredig met a ' , en dan ook met een vaste vector. De karakteristieke lijnen zijn dan evenwijdig en vormen een cylinder.

Opgave 179 : Indien x ' = 0, vormen de karakteristieke lijnen een kegel.

Opgave 180 : Bepaal de keerkromme van het raaklijnenoppervlak omhuld door
a) x₁ sin (t) - x₂ cos(t) + px₃ - qt = 0
b) 3t² x₁ - 3t x₂ + x₃ - t³ = 0.

In de volgende opgave moet u een theorie toepassen die geheel analoog is aan de in deze paragraaf behandelde.

Opgave 181 : Bepaal de kromme die omhuld wordt door het stelsel rechten in ℜ² gegeven door x₁ cos (t) + x₂ sin(t) = t.
Herkent u deze kromme? Maak een schets.

uitwerkingen