23. OUDE DEELTENTAMENS

OPGAVE 198 : Geef de exacte definitie van het begrip isometrie, en het volledige bewijs dat de hoek tussen twee krommen op het oppervlak een buigingsinvariant is. (Leid de door u gebruikte formules volledig af.)

OPGAVE 199 : Beschouw het oppervlak met parametrisering x(u,v) = (1+u-v, u, u²-2uv+v+v²).
a) Bestudeer het oppervlak. Geef voor elk punt de indicatrix van Dupin. Wat is het voor soort oppervlak? Vermeld de relevante bijzonderheden.
b) Geef een eenvoudigere parametrisering van het oppervlak (parameters v en w). Stel vervolgens de differentiaalvergelijkingen voor de geodeten op (variabelen v, w en s). Herkent u één stel oplossingen? Geef de bijbehorende oplossingsfuncties v(s) en w(s).

OPGAVE 200 :
De afbeelding r(cos(u), sin(u), 1) → r √2 (cos(u/√2), sin(u/√2), 0) geeft een isometrie tussen twee oppervlakken. Bewijs dit. Welke oppervlakken zijn het? (Beschrijf ze meetkundig.)

OPGAVE 201 : Gegeven is het oppervlak met parametrisering x(u,v) = (u²/v, u, v²/u).
a) Geef parametervoorstellingen voor de asymptotische lijnen op het oppervlak.
b) Bewijs dat het oppervlak een regeloppervlak is. Is het afwikkelbaar? Welk type oppervlak is het precies?

OPGAVE 202 : Bewijs uitvoerig dat het begrip "geodeet" een buigingsinvariant begrip is.

OPGAVE 203 : Gegeven is een oppervlak O met parametrisering x(u,v) en eerste fundamentaalvorm a_{1 1}(du)² + 2 a_{1 2} du dv + a_{2 2}(du)².
a) Geef de nodige en voldoende voorwaarde opdat de parameterlijnen een isogonaal net bij hoek α vormen, in de vorm van een betrekking tussen a_{1 1}, a_{1 2}, a_{2 2} en α.
b) Geef een differentiaalvergelijking voor de isogonale trajectoriën van de u-lijnen bij α = 30 graden.

OPGAVE 204 : Gegeven is een oppervlak U met, voor een of andere oneindig vaak differentieerbare functie g(u), de parametrisering x(u,v) = (v³, u, g(u)).
a) Hoe zien de u-lijnen er uit? En de v-lijnen? En hoe ziet U er in zijn geheel uit als g(u)=sin(u)?
b) Bewijs dat U isometrisch is met een plat vlak.

OPGAVE 205 :
a) Bewijs dat het aan elkaar raken van twee krommen op een oppervlak een buigingsinvariant begrip is. Is het begrip alleen invariant onder isometrieën, of kunt u een sterkere uitspraak doen?
b) Laat met behulp van een voorbeeld zien dat de kromming van een kromme op een oppervlak geen buigingsinvariant begrip is.

OPGAVE 206 : We hebben de indicatrix van Dupin gedefinieerd met formules, en besproken hoe ze meetkundig ontstaat.
a) Geef zowel de formules als de ontstaanswijze.
b) Geef de afleiding van de formules, uitgaande van de ontstaanswijze.

OPGAVE 207 : Gegeven is een oppervlak O met parametrisering :
x(u,v) = (uv + u²v, u²v² + u²v, u³v³ + u³v²)
( x_u⊗x_v = (u⁴v³ + u⁴v², -3u⁴v³ + u³v² - u⁴v², -u²v + 2u³v²)).
De tweede fundamentaalvorm heeft lineaire factor u dv + v du.
a) Bewijs dat O een regeloppervlak is.
b) Is O afwikkelbaar? Bewijs dat uw antwoord correct is.
Beschouw de kromme k: (t+t², 2t², 2t³).
c) Bewijs dat k op O ligt.
d) Is k een geodeet van O? Bewijs dat uw antwoord correct is.

uitwerkingen