8. ONTWINDENDE EN ONTWONDENE

Definitie 76: Zij C een kromme. Zij K een kromme zó dat de raaklijnen aan C tevens normalen zijn van K. Dan heet K een ontwindende van C, en C een ontwondene van K.

Stelling 77: Elke kromme heeft ∞¹ ontwindenden en ∞¹ ontwondenen.

Bewijs : Parametriseer C volgens booglengte: x(s). Een ontwindende K heeft dan parametrisering y(s)=x(s)+λ(s)t(s) (s is geen booglengte van K).
Nu moet t(s) loodrecht staan op y '(s), waarbij y '(s) = x ^.(s) + λ ^.(s)t(s) + λ(s)κ(s)n(s) = (1 + λ ^.(s))t(s) + λ(s)κ(s)n(s).
Dus 1 + λ ^.(s) = 0 en s + λ(s) = c. We vinden dan bij elke constante c een omtwindende K_c met parametrisering y(s) = x(s) + (c-s)t(s).

Omgekeerd, parametriseer K volgens booglengte: x(s). Een normaalvector is van de vorm n(s)cos(φ(s)) + b(s)sin(φ(s)).
Een bijbehorende ontwondene C heeft dan de volgende parametrisering (waarbij s geen booglengte is): y(s)=x(s)+λ(s)(n(s)cos(φ(s)) + b(s)sin(φ(s))).
Er moet nu gelden dat y '(s) een veelvoud is van n(s)cos(φ(s)) + b(s)sin(φ(s)), waarbij
y '(s) = t + λ ^.(n cos(φ) + b sin(φ)) + λ(n ^.cos(φ) + b ^.sin(φ) - n sin(φ)φ ^. + b cos(φ)φ ^.) =
t(1-λκ cos(φ)) + n(λ ^.cos(φ) - λτ sin(φ) - λ sin(φ)φ ^.) + b(λ ^.sin(φ) + λτ cos(φ) + λ cos(φ)φ ^.).
Er moet dus gelden: ten eerste λ = (κ cos(φ))^-1, en ten tweede

Hieruit volgt φ ^. = - τ, dus φ = φ_o - ∫₀^s τ(u) du.
Bij elke keuze van φ_o vinden we een ontwondene C.

Opgave 78:
Laat zien dat het normalenstelsel van een kromme K behorende bij een ontwondene C uit de normalen van een tweede ontwondene C' wordt verkregen door deze ieder in zijn normalenvlak over een vaste hoek te draaien.
Laat ook zien dat het raakpunt y(s) van ontwondene C gelegen is op de krommingsas van x(s) op K.
Laat tenslotte zien dat de hoofdnormalen van een kromme K precies dan de raaklijnen vormen van een kromme C ("C omhullen") indien τ=0, dus indien K vlak is. C is dan de meetkundige plaats van de kromtemiddelpunten van K.

Opgave 79: De raaklijnen aan een cirkelschroeflijn snijden elk vlak loodrecht op de as in de punten van een ontwindende van de cirkeldoorsnede van dit vlak met de cylinder waar de schroeflijn op ligt.

Opgave 80: Bepaal van de cycloïde (zie 18, 28) de in het beschouwde vlak gelegen ontwondene (omhulde) en laat zien dat dit weer een cycloïde is.

uitwerkingen