CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE
9. SCHROEFLIJNEN
Definitie 81: Een schroeflijn is een kromme (geen rechte) waarvan de raaklijnen een vaste hoek maken met een vaste rechte (de as).
Stelling 82: De schroeflijnen zijn precies de krommen met een natuurlijke vergelijking van de vorm τ/κ = c (c constant)
(en de cirkelschroeflijnen zijn precies de krommen waarbij τ en κ beide constant en ongelijk aan 0 zijn).
Bewijs: Stel dat v een eenheidsrichtingsvector van de vaste lijn is.
Uit t.v = c volgt door differentiatie n.v = 0, dus v = t cos(α) + b sin(α) voor vaste
α.
Nogmaals differentiëren geeft 0 = (κ cos(α) - τ sin(α)) n, dus τ/κ = c met c = cotg(α).
Zij omgekeerd τ/κ = cotg(α) (α constant).
Dan b . = -τ n = (-τ/κ) t . =
-cotg(α) t ., dus de eenheidsvector t cos(α) + b sin(α) is constant.
Noemt men deze vector v, dan is v.t = cos(α) = constant.
Stelling 83: Elke schroeflijn is te parametriseren in de vorm (x1(σ),x2(σ),σ cotg(α)), waarbij σ de booglengte is van
(x1(σ),x2(σ), 0), en σ = s sin(α).
Er geldt κ2 = κ12 sin4(α), waarbij κ1 de kromming is van (x1(σ),x2(σ), 0).
Bewijs: Kies het coördinatenstelsel zó dat de x3-as de as van de schroeflijn is.
Er geldt dan (met e3 = (0,0,1)): t.e3 = cos(α), α constant. Dus x3. = cos(α), dus
x3 = s cos(α).
Het verband tussen s en σ volgt uit:
1 = (dx1/dσ)2 + (dx2/dσ)2 = (x1. 2 + x2. 2)(ds/dσ)2 =
(1 - x3. 2)(ds/dσ)2 = (ds/dσ)2 sin2(α), dus σ = s sin(α). We vinden dan de vermelde parametrisering.
Verder is κ12 = (d2x1/dσ2)2 + (d2x2/dσ2)2 =
(x1..2 + x2..2 + x3..2)(ds/dσ)4 =
κ2 sin-4(α). (We gebruiken hier dat dx3/dσ en ds/dσ constant zijn, zodat d2x3/dσ2 en d2s/dσ2
0 zijn, en ook dat x3.. = 0.)
Voorbeeld 84: We bepalen een parametervoorstelling van de schroeflijn met natuurlijke vergelijkingen κ = τ = (2+s2)-1.
We vinden tg(α)=1, σ = (1/2)s√2 en κ1 = 2 κ = (1 + σ2)-1.
Als in voorbeeld 27 vinden we (x1(σ), x2(σ)) = (∫0σ cos(arctan(σ ') dσ ',
∫0σ sin(arctan(σ ') dσ ') = (∫0σ (1 + σ ' 2)-1/2 dσ ',
∫0σ σ ' (1 + σ ' 2)-1/2 dσ ' ) = (ln(σ + √(1+σ2)), √(1+σ2)),
waaruit de parametervoorstelling (ln(σ + √(1+σ2)), √(1+σ2), σ) = (ln((1/2)s√2 + √(1+(1/2)s2)), √(1+(1/2)s2),
(1/2)s√2).
Opgave 85: Bewijs dat x(s) precies dan een schroeflijn is als
det(x .., x ..., x ....) = 0, en κ ≠ 0.
Opgave 86: Bepaal natuurlijke vergelijkingen κ = κ(s) en τ = τ(s) voor een op een bol gelegen schroeflijn.
Opgave 87: Bewijs dat z(t) uit 47 een schroeflijn is, en bepaal haar asrichting.