Stelling 22

Het construeren van een driehoek uit drie rechte lijnstukken die gelijk zijn aan drie gegeven rechte lijnstukken: het is dus noodzakelijk dat de som van twee van die lijnstukken steeds groter is dan de derde. (Zie stelling 20)

Laat de drie gegeven lijnstukken zijn A, B en C, en laat de som van de lengten van twee van die lijnstukken steeds groter zijn dan de lengte van de derde: A plus B groter dan C, A plus C groter dan B, en B plus C groter dan A.
Gevraagd wordt een driehoek te construeren met rechte lijnstukken gelijk aan A, B, C.

Teken een recht lijnstuk DE, eindigend in D maar van oneindige lengte in de richting van E. (Post.2)
Maak DF gelijk aan A, FG gelijk aan B, en GH gelijk aan C. (Stell.3)

Beschrijf de cirkel DKL met middelpunt F en straal FD. Zo ook, beschrijf de cirkel KLH met middelpunt G en straal GH. (Post.3) Verbind KF en KG. (Post.1)

Ik zeg dat driehoek KFG geconstrueerd is met drie rechte lijnstukken gelijk aan A, B, and C.

Aangezien het punt F het middelpunt is van driehoek DKL, is FD gelijk aan FK (Def.16). Maar FD is gelijk aan A, daarom is KF ook gelijk aan A. (C.N.1)

Evenzo, aangezien punt G middelpunt is van cirkel LKH, daarom is GH gelijk aan GK. (Def.16 ) Maar GH is gelijk aan C, daarom is KG ook gelijk aan C. (C.N.1)

En FG is ook gelijk aan B, daarom zijn de drie rechte lijnstukken KF, FG en GK gelijk aan de drie rechte lijnstukken A, B, and C.

Daarom is uit de rechte lijnstukken KF, FG en GK, die gelijk zijn aan de drie gegeven lijnstukken A, B en C, de driehoek KFG geconstrueerd.

Q.E.F.

volgende