Oplossing Kerstprobleem


Zij K een cirkel met straal 1 en G de gesloten cirkelschijf met rand K. Bepaal de minimum- en maximumwaarden van PA+PB+PC met A,B,C op K, en P in G, waarbij de driehoek ABC oppervlakte 1 heeft.

Vind hier de namen van de winnaars samen met hun oplossingen.


MIJN EIGEN OPLOSSING:

1) Omdat de oppervlakte van driehoek ABC 1 is, kan de grootste hoek hoogstens 90 graden zijn, en als de grootste 90 is, zijn de andere twee 45 (anders wordt de oppervlakte te klein).
We krijgen dus waarschijnlijk de maximumwaarde als de punten gelegen zijn zoals in het plaatje hieronder. Het maximum is dan 2+2*wortel(2).

Om te zien dat dit waar is, redeneren we als volgt:
Als we C over de cirkel in de richting van R af bewegen, dan moeten we B naar R toe bewegen om de oppervlakte van de driehoek gelijk aan 1 te houden.
Geef coördinaten A(0,1), R(0,-1), B(-cos(d),-sin(d)), C(cos(e),sin(e)) met kleine niet-negatieve d,e.
Gebruik makend van de formule van Hesse om de afstand van een punt tot een lijn te berekenen, krijgen we:
oppervlakte ABC = BC*afstand(A,BC)/2 = (1/2)(cos(e)+cos(d)-sin(e-d)) = 1.
Driehoek ABC heeft hoeken (90-d/2+e/2,45-e/2,45+d/2) met d groter dan e, dus sin(d) is groter dan sin(e).
Dus RB+RC = wortel(2-2*sin(d))+wortel(2+2*sin(e)) is kleiner dan 2*wortel(2).
Om dit nader te onderzoeken schreef ik een computerprogramma (zie listing en output ).
Het programma berekent de waarde van d voor een groot aantal waarden van e. Driehoek BCA heeft hoeken variërend van (45,45,90) tot ongeveer (33, 73.5,73.5). Het optimale punt P verschuift van de beginpositie op 270 graden naar ruim 290 graden, en de maximale afstand neemt af van 2+2*wortel(2)=4.827 tot ruim 4.3.

{{ 1') Analytisch bewijs voor insiders:
Uit (1/2)(cos(e)+cos(d)-sin(e-d)) = 1 volgt door impliciet differentiëren naar e
d' = ((cos(e-d)+sin(e))/(cos(e-d)-sin(d)); dit is groter dan 1, dus d neemt harder toe dan e.
Stel nu dat P is (cos(u),sin(u)) waarbij u varieert van 3*pi/2 tot een beetje meer.
Dan geldt PA+PB+PC = t = 2sin(u/2-pi/4)-2cos(u/2-d/2)+2sin(u/2-e/2).
Men vindt het optimale punt P bij vaste d en e door de partiële afgeleide naar u van de afstandensom t gelijk aan 0 te stellen. Hieruit volgt
tan(u/2) = (sin(d/2)-cos(e/2)-wortel(2)/2)/(sin(e/2)+cos(d/2)+wortel(2)/2).
Hieruit kan men bewijzen dat de afgeleide u' van u naar e positief en kleiner dan 1 is, hetgeen de output ook aangeeft.
Voor de afgeleide van t naar e vinden we
t'=tuu'+tdd'+te=(cos(u/2-pi/4)+sin(u/2-d/2)+cos(u/2-e/2))u'- sin(u/2-d/2)d'-cos(u/2-e/2).
Omdat voor u, t en d met waarden als bij ons geldt dat cos(u/2-pi/4) negatief is en abs(sin(u/2-d/2)) groter is dan abs(cos(u/2-e/2)) en d'-u' groter is dan 1-u', volgt hieruit dat t' kleiner is dan 0, dus t is afnemend. We vinden het maximum dus in R. }}

2) Als de afstandensom minimaal is zal P ergens binnen driehoek ABC liggen.
We voeren een draaiing uit met centrum A over een hoek van 60 graden. Zie de schets: P gaat over in P', C in C'=V.
Dus driehoek ACV is gelijkzijdig.


De afstandensom is minimaal als B,P,P' en V op één lijn liggen. Het minimum is dus BV.
V is het snijpunt van de cirkels met vergelijkingen
x2+(y-1)2=(cos(e))2+(1-sin(e))2 and
(x-cos(e))2+(y-sin(e))2=(cos(e))2+(1-sin(e))2.
Dit levert V:(num/(2cos(e)),(num/(2-2sin(e)) met num=cos2(e)+ wortel(cos4(e)+2cos2(e)(2sin2(e) -3sin(e)+1)).
Het boven genoemde computerprogramma berekent voor iedere driehoek BCA ook de afstand BV. Het blijkt dat de minimale afstandensom toeneemt van 2.7321 voor e=0 tot 2.8123 voor e=24.10.
Dus het gevraagde minimum is 2.7321=BV=wortel(4+2*wortel(3))=1+wortel(3), en wordt aangenomen in dezelfde rechthoekige driehoek waar we mee begonnen (met P=T=(0,wortel(3)/3), zie tekening).

{{ 2') Analytisch bewijs voor insiders:
Stel dat s de minimale afstandensom is (zoals in de opgave), dus s=BV.
Men rekent na dat s2 = v = 2(sin2(alpha)+sin2(beta)+sin2(gamma)+wortel(3)) met alpha=pi/2-d/2+e/2, beta=pi/4-e/2, gamma=pi/4+d/2.
Voor (alpha,beta,gamma)=(90,45,45) komt er s2=4+2*wortel(3), s=1+wortel(3)=2.73205.
We willen bewijzen dat de afgeleide van v naar e positief is.
We gebruiken de formule voor d' die we in 1') vonden, en zien dat dit neerkomt op bewijzen dat
(cos(e-d)+sin(e))/(cos(e-d)-sin(d)) groter is dan (cos(e)+sin(e-d))/(cos(e)-sin(d-e)).
Na een beetje rekenwerk vinden we dat dit waar is als 2d-e kleiner is dan pi/2, hetgeen geldt voor onze waarden.
Dus we vinden in T het minimum. }}

Klik hier voor het probleem
Klik hier voor mijn thuispagina