§ 10: De fundamentele stelling

FS: Gegeven drie verschillende punten A, B, C op een lijn l, en drie verschillende punten A', B', C' op een lijn m (eventueel l = m). Dan bestaat er precies één projectiviteit van l op m, zeg φ, die A overvoert in A', B in B', en C in C'.

Bewijs: De existentie van φ hebben we al aangetoond in O34.
Stel nu dat φ₁ en φ₂ voldoen, en zij X een willekeurig punt van l.
Dan geldt (A', B'; C', φ₁(X)) = (φ₁(A), φ₁(B); φ₁(C), φ₁(X)) = (A, B; C, X) = (φ₂(A), φ₂(B); φ₂(C), φ₂(X)) = (A', B'; C', φ₂(X)).
Volgens O38 is dus φ₁(X) = φ₂(X).
Omdat X willekeurig was volgt dat φ₁ = φ₂.

Stelling: Een bijectie ψ : l → m is precies dan een projectiviteit als ψ de dubbelverhouding bewaart.

Bewijs: Dat een projectiviteit de dubbelvehouding bewaart, hebben we in de vorige paragraaf gezien.
Zij omgekeerd ψ een bijectie van l op m die de dubbelvehouding bewaart.
Kies drie punten A, B, C op l, en zij φ de projectiviteit van l op m met φ(A) = ψ(A), φ(B) = ψ(B), φ(C) = ψ(C).
Dan geldt voor alle X op l: (φ(A), φ(B); φ(C), φ(X)) = (A, B; C, X) = (ψ(A), ψ(B); ψ(C), ψ(X)) = (φ(A), φ(B); φ(C), ψ(X)).
Volgens O38 is dan φ(X) = ψ(X). Dus φ = ψ. Dus ψ(X) is een projectiviteit.

Stelling: Elke projectiviteit φ : l → m wordt geïnduceerd door een reguliere lineaire transformatie van ℜ³.

Bewijs: P² is het vlak {x₃=1} in ℜ³, uitgebreid met de oneigenlijke punten op de oneigenlijke lijn.
Neem drie punten A, B, C op l, en laten A', B', C' de beeldpunten zijn op m onder de projectiviteit φ.
Noteer de vector van O naar B als b, etc.
Dan is c = λa + μb en c' = ρa' + σb' voor zekere reële getallen λ, μ, ρ, σ ≠ 0.
Zij F een reguliere lineaire transformatie van ℜ³ met F(a) = (ρ/λ)a', F(b) = (σ/μ)b'.
Dan is F(c) = F(λa + μb) = λF(a) + μF(b) = ρa' + σb' = c'.
In O41 bewijzen we dat F de dubbelverhouding invariant laat, of liever de door F geïnduceerde bijectie f van l op m. Volgens de vorige stelling is f dan een projectiviteit van l op m.
Omdat f(A) = φ(A), f(B) = φ(B), f(C) = φ(C), is dan f = φ op grond van de fundamentele stelling.

Opgaven

O39 Formuleer en bewijs de duale van de fundamentele stelling (aanwijzing: kies een rechte p, niet door L of M, en snijd beide lijnenwaaiers met p).

O40 Stel dat φ een projectiviteit is van l op m, en dat het snijpunt van l en m dekpunt is. Bewijs dat φ dan een perspectiviteit is. Formuleer ook de duale stelling.

O41 Zij F een reguliere lineaire transformatie van ℜ³. Stel dat de eindpunten der vectoren a, b, c collineair zijn. Bewijs dat de eindpunten der vectoren F(a), F(b), F(c) dan ook collineair zijn, en dat geldt:
|| (F(c) - F(a))|| / ||(F(b) - F(a)) || = || (c - a) || / || (b - a) ||. Bewijs vervolgens dat de door F op P² geïnduceerde afbeelding f de dubbelverhouding bewaart (projecteer vanuit O).

O42 In projectieve coördinaten zijn gegeven de lijnen l: λ(1,0,0) en m: λ(0,1,0); verder de punten A: λ(0,1,1), B: λ(0,2,1), C: λ(0,3,1) op l, en de punten A': λ(-1,0,1), B': λ(1,0,1), C': λ(0,0,1) op m.
Zij F de lineaire afbeelding als in het bewijs van de derde stelling van deze paragraaf.
Controleer dat λ=-1, μ=2, ρ=1/2, σ=1/2 en dat (A, B; C, X) = (f(A), f(B); f(C), f(X)).

uitwerkingen