§ 14: Involuties

Definitie : Een niet-triviale projectiviteit φ van een lijn l op zichzelf (of van een schaar L op zichzelf) heet involutie indien φ² de identiteit is.

Stelling : Indien een projectiviteit φ van l op zichzelf (of van L op zichzelf) twee punten (lijnen) verwisselt, is φ een involutie.

Bewijs : Stel dat φ de punten A en B verwisselt, en zij X een derde punt op l. Dan (A, B; X, φ(X)) = (φ(A), φ(B); φ(X), φ²(X)) = (B, A; φ(X), φ²(X)).
Ook is (A, B; X, φ(X)) = (B, A; φ(X), X). Dus geldt volgens O38 dat φ²(X) = X.

Opmerking : {X, φ(X)} heet paar van de involutie.

Stelling : Indien een involutie φ een dekpunt P (invariante lijn p) heeft, dan heeft φ nog een dekpunt R ≠ P (invariante lijn r ≠ p), en de paren van φ scheiden {P,R} harmonisch.

Bewijs : Zij {X,φ(X)} een paar van φ met X ≠ φ(X). Zij R de vierde harmonische bij P en {X,φ(X)}. We moeten bewijzen dat φ(R) = R. (Dan volgt vanzelf dat elke X dezelfde R oplevert, omdat een niet-triviale projectiviteit hoogstens twee dekpunten kan hebben.)
Welnu: (P, R; X, φ(X)) = -1, dus (P, R; X, φ(X)) = (R, P; X, φ(X)). Ook (P, R; X, φ(X)) = (φ(P), φ(R); φ(X), φ²(X)) = (P, φ(R); φ(X), X) = (φ(R), P; X, φ(X)).
Volgens O38 is φ(R) = R.

Opmerking : We zijn dus in staat om van elk punt op l (elke lijn door L) het beeldpunt (de beeldlijn) te construeren als de dekpunten (invariante lijnen) gegeven zijn (zie O49).

Opmerking : De stelling impliceert dat er geen parabolische involuties bestaan.
De involutie met paren {A,A'} en {B,B'} is elliptisch indien {A,A'} en {B,B'} elkaar scheiden. Want stel dat deze involutie hyperbolisch is met dekpunten P en Q.

Vanwege de harmonische liggingen bij een hyperbolische involutie zou volgen:
x₂/(x₂+x₃+x₄+x₅) = (x₃+x₄)/x₅ en (x₁+x₂)/(x₁+x₂+x₃+x₄+x₅) = x₃/(x₄+x₅).
Er volgt tegenspraak omdat het eerste getal kleiner is dan het derde (ga na) en het tweede groter dan het vierde.

O55 Bepaal de matrix van de involutie met paren {(4,-5),(1,2)} en {(5,-4),(2,1)}.

O56 Wanneer is ρ((a,b),(c,d)) de matrix van een involutie? Wanneer is deze hyperbolisch, wanneer elliptisch?

O57 Stel r(X₁, ...) _∧_ s(X₂, ...) met Pappuslijn p, en s(X₂, ...) _∧= r(X₃, ...) met centrum P.
Bewijs dat het product r(X₁, ...) _∧_ r(X₃, ...) precies dan een involutie is als P op p ligt.

O58 Gegeven is dat op een puntenreeks l het paar {P,Q} de paren {A,A'} en {B,B'} harmonisch scheidt.
Bewijs dat {A',B'} paar is van de involutie met paren {P,Q} en {A,B}.

uitwerkingen