CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 16: De hoofdstelling over collineaties


Stelling : Zij φ een projectieve transformatie van P2. Dan is er precies dan een reeks van onder φ invariante punten indien er een schaar is van onder φ invariante lijnen.

Bewijs : Stel er is een punt C zo dat de lijnen door C invariant zijn. Noteer X ' := φ(X). Stel φ is niet de identieke afbeelding.
Maak een desarguesconfiguratie met centrum C en driehoeken ABD en A ' B ' D ' .

De snijpunten S1, S2, S3 van overeenkomstige zijden zijn verschillend en volgens Desargues collineair.
Het zijn dekpunten van φ: bv φ(S1) ligt op CS1 omdat CS1 invariant is, en φ(S1) ligt op A ' D ' omdat S1 op AD ligt, dus φ(S1) = S1.
De lijn a door S1, S2 en S3 bevat dan minstens drie dekpunten en is dus volgens de FS puntsgewijs invariant.

Stel omgekeerd dat er een reeks a van invariante punten is.
We onderscheiden nu twee gevallen:
i) Er is een dekpunt C buiten a. In dat geval bevat elke lijn l door C twee dekpunten, namelijk C en het snijpunt l.a, dus is l invariant.
ii) Er is geen dekpunt buiten a. Neem een punt P buiten a. Dan ligt ook P ' buiten a, want φ is 1-1 en a is een lijn van dekpunten.
Zijn nu C := a.PP ' . Dan ligt C op a, dus C is dekpunt.
Dus PC = P ' C = P ' C ' , dus PC is invariante lijn.
Neem nu X buiten a en buiten PP ' . Evenals PP ' is XX ' invariant.
PP ' . XX ' is dus dekpunt en ligt dan op a. Omdat hij ook op PP ' ligt, is hij C.
Dus de schaar van lijnen door C is invariant.

Definitie : Een projectieve transformatie, niet de identiteit, met een lijn a van dekpunten en een punt C van invariante lijnen heet centrale collineatie met centrum C en as a.

Opmerking : Voor het verband tussen centrale collineaties en centrale projecties, zie §4.


Opgave 63 : Bewijs dat λ((4,0,-1),(0,3,0),(2,0,1)) de matrix van een centrale collineatie is.
Bepaal de (homogene) coördinaten van het centrum en een vergelijking van de as.

Opgave 64 : Bepaal de matrix van de projectieve transformatie φ gedefinieerd door
λ(0,1,1) → λ(1,0,0), λ(-1,0,1) → λ(1,1,0), λ(0,7,0) → λ(2,2,2), λ(-2,2,3) → λ(1,0,1).
Heeft φ dekpunten?


uitwerkingen


HOME