CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 23: Punten- en lijnenkegelsneden


Definitie: Een niet-ontaarde puntenkegelsnede is de verzameling der snijpunten x . x' , waarbij xx' een projectiviteit is (maar geen perspectiviteit) van een lijnenwaaier L op een lijnenwaaier M (met LM).

Opmerking: Elke projectiviteit φ : LM is de restrictie tot L van een projectieve transformatie van P2. De gegeven definitie is dus equivalent met die in §21.

Definitie: Een niet-ontaarde lijnenkegelsnede is de verzameling der verbindingslijnen XX ' , waarbij XX ' een projectiviteit is (maar geen perspectiviteit) van een puntenreeks l op een puntenreeks m (met lm).

Opmerking: Het zal blijken (in §25) dat een lijnenkegelsnede de verzameling der raaklijnen aan een puntenkegelsnede is.

Voorbeeld:
Gegeven a, b, c door L en a ' , b ' , c ' door M. Construeer de punten van de kegelsnede die hoort bij de projectiviteit van L naar M die aan a toevoegt a ' , aan b toevoegt b ' , en aan c toevoegt c ' .
Oplossing:
Construeer eerst het Pappuspunt P van de projectiviteit.
Zij x een lijn door L. Construeer x' met behulp van de constructie van Steiner. Zie O45.
Het snijpunt x . x' is een nieuw punt van de kegelsnede.
Opmerking: (Zie O43.)
Als x = LM dan x ' = MP dus x . x' = M.
Als x = LP dan x ' = LM dus x . x' = L.
Dus L en M behoren tot de kegelsnede.

Voorbeeld:
Gegeven vijf vrijgelegen punten (dit wil zeggen: geen drie collineair). Construeer een zesde punt van de kegelsnede door deze vijf punten.
Oplossing:
Noem twee van deze punten L en M, en de andere drie A, B en C.
Zij a := LA, b := LB, c := LC, en zij a ' := MA, b ' := MB, c ' := MC.
Zij φ de projectiviteit van L naar M met φ(a) = a ' , φ(b) = b ', φ(c) = c '.
Dan brengt φ de gezochte kegelsnede voort.
Construeer een zesde punt als in het vorige voorbeeld.


O84 Ga na welke ontaardingen optreden indien in de definitie van een puntenkegelsnede L = M, of indien de projectiviteit een perspectiviteit is. Analoog voor een lijnenkegelsnede.

O85 Gegeven punten A, B en C op een lijn l en punten A ' , B ' en C ' op een lijn m.
Zij φ de projectiviteit van l naar m met φ(A) = A ' , φ(B) = B ', φ(C) = C '.
Construeer de lijnen van de lijnenkegelsnede gegenereerd door φ.
Bewijs ook dat l en m tot die lijnenkegelsnede behoren.

O86 Gegeven vijf vrijgelegen lijnen. Construeer een zesde lijn van de lijnenkegelsnede bepaald door deze vijf. (Voor een goede tekening: ga uit van vijf raaklijnen aan een cirkel.)

O87 Bewijs dat een lijn met een niet-ontaarde kegelsnede geen drie verschillende punten gemeen kan hebben.


uitwerkingen


HOME