CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 24: Raaklijnen en raakpunten


Stelling: Zij J een niet-ontaarde puntenkegelsnede. Dan is er bij elk punt A van J precies één lijn door A die met geen ander punt van J incident is.

Bewijs: Neem naast A nog vier andere punten van J, zeg B, C, D en E.
Dan is J de puntenkegelsnede bepaald door de projectiviteit φ van A naar B die aan AC toevoegt BC, aan AD toevoegt BD, en aan AE toevoegt BE.
Zij P het Pappuspunt van deze projectiviteit. Elke lijn x door A heeft met J nog het punt x . φ(x) gemeen.
Als x = AP dan φ(x) = AB en x . φ(x) = A. Dus AP is een lijn als gevraagd.
Als xAP dan φ(x) ≠ AP (want φ is 1-1), dus dan gaat φ(x) niet door A (want φ(x) gaat wel door B), en dan x . φ(x) ≠ A.
Dus AP is de enige lijn die voldoet.

Definitie: De lijn door A op J die met geen ander punt van J incident is, heet raaklijn te A aan J.

Opmerking: Het bewijs van bovenstaande stelling levert een procédé voor de constructie van de raaklijn in A aan J indien van J vijf punten gegeven zijn waaronder A.

Opmerking: In de situatie van bovenstaand bewijs is BP de raaklijn in B aan J. Bewijs dit zelf.


Stelling: Zij j een niet-ontaarde lijnenkegelsnede. Dan is er bij elke lijn a van j precies één punt op a dat met geen andere lijn van j incident is.

Bewijs: Dualiseer het bewijs van de vorige stelling.

Definitie: Het punt op de lijn a van j dat met geen andere lijn van j incident is, heet raakpunt op a aan j.


Opgaven:

O88 Gegeven vijf vrijgelegen punten A, B, C, D, E. Construeer de raaklijn in A aan de kegelsnede door deze vijf punten.

O89 Gegeven vijf vrijgelegen lijnen a, b, c, d, e. Construeer het raakpunt op a aan de lijnenkegelsnede bepaald door deze vijf lijnen.

O90 Gegeven drie lijnen a, b, c van een lijnenkegelsnede j, alsmede de raakpunten A op a en B op b. Construeer meer lijnen van j en het raakpunt op c.

O91 Gegeven drie punten A, B, C van een puntenkegelsnede J, alsmede de raaklijnen a in A en b in B. Construeer meer punten van J en de raaklijn in C.


Opmerking: De opgaven van deze paragraaf zijn gemakkelijker te maken na bestudering van §26. Zie O101.


uitwerkingen


HOME