CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 26: De stelling van Pascal


Stelling: Laten A, B, C, A ', B ', C ' op een niet-ontaarde kegelsnede J liggen.
Dan liggen P := AB '. A 'B, Q := BC '. B 'C en R := AC '. A 'C op één lijn (de pascallijn van zeshoek ABCA 'B 'C ').

Bewijs: J is de kegelsnede voortgebracht door de projectiviteit φ van A naar C met φ(AA ' ) = CA ', φ(AB ' ) = CB ', φ(AB ) = CB. Omdat C ' op deze kegelsnede ligt, is φ(AC ' ) = CC '.
Zij D := A ' B . AC ', E := A ' C . BC ', l := A ' B, m := BC '. Dan geldt:
l(A ', P, D, B) ∧= A(AA ', AP, AD, AB) = A(AA ', AB ', AC ', AB) _ C(CA ', CB ', CC ', CB) = C(CE, CQ, CC ', CB) ∧= m(E, Q, C ', B), dus l(A ', P, D, B) _ m(E, Q, C ', B).
Blijkbaar is B dekpunt van de projectiviteit ψ van l op m met ψ(A ' ) = E, ψ(P ) = Q, ψ(D ) = C '.
Volgens O40 is ψ een perspectiviteit met centrum A ' E . DC ' = R. Omdat ψ(P) = Q, liggen P, Q en R op één lijn.

Opmerking: De stelling blijft geldig in het geval dat één, twee of drie paren punten samenvallen. De verbindingslijn van twee samenvallende punten is de raaklijn in dat punt.

Opmerking: Pascal bewees zijn stelling door hem eerst te bewijzen voor een cirkel, en vervolgens de hele configuratie te projecteren op een ander vlak.


Opmerking: De duale stelling heet stelling van Brianchon:

Stelling: Laten a, b, c, a ', b ', c ' raaklijnen aan een niet-ontaarde kegelsnede J zijn.
Dan gaan de verbindingslijnen p := ab '. a 'b, q := bc '. b 'c en r := ac '. a 'c door één punt (het brianchonpunt van zeszijde abca 'b 'c '; het snijpunt van twee samenvallende raaklijnen is hier het raakpunt op die lijn).


Opgaven:

O95 Bewiis de stelling van Brianchon door dualiseren van het bewijs van de stelling van Pascal.

O96 Laten A, B, C en D vier verschillende punten van een niet-ontaarde kegelsnede J zijn. Bewijs dat het snijpunt van de raaklijnen in A en B collineair is met de twee niet op AB liggende diagonaalpunten van vierhoek ABCD, zonder pooltheorie te gebruiken.

O97 In een kegelsnede J zijn twee puntperspectieve driehoeken A1B1C1 en A2B2C2 beschreven. P is een punt van J dat niet samenvalt met een van deze zes. X := PA2. B1C1, Y := PB2. A1C1, Z := PC2. A1B1.
Bewijs dat X, Y, Z en het perspectiviteitscentrum van de gegeven driehoeken collineair zijn.

O98 Construeer een zesde punt van de kegelsnede bepaald door vijf vrijgelegen punten, met behulp van de stelling van Pascal. Evenzo een zesde lijn van de lijnenkegelsnede bepaald door vijf vrijgelegen lijnen.

O99 Bewijs dat de pascallijn van een zeshoek ingeschreven in een kegelsnede J de poollijn is van het brianchonpunt van de bijbehorende zeszijde der raaklijnen in die zes punten.

O100 Van een kegelsnede J zijn vier punten en de raaklijn in één van die punten gegeven. Construeer de raaklijnen in de andere punten. Maak ook de duale opgave.

O101 Maak de opgaven van §24 mbv de stellingen van Pascal en Brianchon.


uitwerkingen


HOME