§ 27: Projectieve reeksen op een kegelsnede

Indien X, Y, A, B, C, D punten op een kegelsnede J zijn, dan is J de kegelsnede bepaald door de projectiviteit φ van X naar Y met φ(XA) = YA, φ(XB) = YB, φ(XC) = YC. Er geldt ook φ(XD) = YD.
Als een gevolg is (XA, XB; XC, XD) = (YA, YB; YC, YD), dus we kunnen definiëren:

Definitie: De dubbelverhouding van vier punten A, B, C, D op een kegelsnede J is het getal (XA, XB; XC, XD), met X op J willekeurig.

Definitie: Een projectiviteit van een kegelsnede J op zichzelf is een bijectie van J op J die de dubbelverhouding bewaart.

Fundamentele Stelling: Gegeven drie punten A, B, C op een kegelsnede J en drie punten A ', B ', C ' op J.
Dan bestaat er precies één projectiviteit φ: J → J met φ(A) = A ', φ(B) = B ', φ(C) = C '.

Bewijs:
i) Existentie.
Kies D op J. Zij ψ de lijnenwaaierprojectiviteit van D op D met ψ(DA) = DA ', ψ(DB) = DB ', ψ(DC) = DC '. Definieer φ als volgt: voor X op J zij φ(X) het snijpunt ongelijk aan D van ψ(DX) met J. Ga na dat deze φ voldoet.
ii) Uniciteit.
Stel dat φ₁ en φ₂ beide voldoen.
Dan geldt voor X op J: (A, B; C, X) = (φ₁(A), φ₁(B); φ₁(C), φ₁(X)) = (A ', B ' ; C ', φ₁(X)), en evenzo: (A, B; C, X) = (A ', B ' ; C ', φ₂(X)).
Dus (DA, DB; DC, DX) = (DA ', DB ' ; DC ', Dφ₁(X)) = (DA ', DB ' ; DC ', Dφ₂(X)).
Dus Dφ₁(X)) = Dφ₂(X)), en omdat φ₁(X)) en φ₂(X)) allebei op J liggen, is dan φ₁(X) = φ₂(X).

Opmerking: Als P een punt is, is de afbeelding die aan X op J het andere snijpunt van PX met J toevoegt, in het algemeen geen projectiviteit.

Stelling van Steiner: Zij J een kegelsnede en φ een projectiviteit van J naar J.
Dan liggen de punten Xφ(Y). Yφ(X), met X, Y op J, allemaal op één lijn (de pascallijn van φ).

Bewijs: Kies drie punten A, B, C op J. We gaan bewijzen dat, voor X en Y op J, Xφ(Y). Yφ(X) op de pascallijn ligt van zeshoek ABCφ(A)φ(B)φ(C).
Zij ψ de lijnenwaaierprojectiviteit van A op φ(A) met ψ(Aφ(B)) = φ(A)B, ψ(Aφ(C)) = φ(A)C, ψ(Aφ(A)) = φ(A)A.
Omdat Aφ(A) invariant is, is dit een perspectiviteit met als as de lijn door Aφ(B)).φ(A)B en Aφ(C)).φ(A)C, dit is de pascallijn van zeshoek ABCφ(A)φ(B)φ(C).
Omdat (B, C; A, X) = (φ(B), φ(C); φ(A), φ(X)), is (φ(A)B, φ(A)C; φ(A)A, φ(A)X)) = (Aφ(B), Aφ(C); Aφ(A), Aφ(X)).
Dus, omdat ψ de dubbelverhouding bewaart, en op grond van O38, is ψ(Aφ(X)) = φ(A)X.
Dit betekent dat Aφ(X). Xφ(A) op de pascallijn van zeshoek ABCφ(A)φ(B)φ(C) ligt.
Analoog leidt men af dat Aφ(Y). Yφ(A) op die lijn ligt.
Past men nu de stelling van Pascal toe op zeshoek AXYφ(A)φ(X)φ(Y), dan volgt dat ook Xφ(Y). Yφ(X) op diezelfde lijn ligt.

O102 Bestudeer de twee citaten in de uitwerking van deze opgave. Zij geven samen een toepassing van het bovenstaande.

O103 Gegeven twee driehoeken ABC en UWV. Construeer driehoek PQR waarvan de zijden door U, V en W gaan en de hoekpunten op de zijden van driehoek ABC liggen.

uitwerkingen