CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 5: Projectieve coördinaten


Gegeven de vectorruimte ℜ3 en het reële projectieve vlak van de rechten en vlakken door de oorsprong.
Heeft het punt p in P2 als rechte door de oorsprong vectorvoorstelling λ(p1,p2,p3), dan noemt men λ(p1,p2,p3) homogene (projectieve) coördinaten voor p.
Heeft de lijn l in P2 als vlak door de oorsprong een normaal met vectorvoorstelling λ(l1,l2,l3), dan noemt men λ(l1,l2,l3) projectieve coördinaten voor l.
De incidentierelatie wordt gegeven door: {p incident met l} ⇔ {p1l1+p2l2+p3l3 = 0}.
(Ga na dat deze karakterisering onafhankelijk is van de keuze der representanten (p1,p2,p3) en (l1,l2,l3) van p en l.)

Uit de symmetrie van deze karakteriseringen van punt, lijn en incidentierelatie met behulp van projectieve coördinaten volgt dat het dualiteitsbeginsel van toepassing is voor alle stellingen over incidentie van punten en lijnen in het reële projectieve vlak, waaronder ook de stellingen van Pappus en Desargues (zie ook de opgaven 17 t/m 20).
De duale stelling ontstaat door het automatisch verwisselen van de woorden punt en lijn en de woorden verbinden en snijden.

Gebruikt men het model van O5, dan kan men een eigenlijk punt met projectieve coördinaten λ(a,b,c) coördinaten (a/c,b/c) geven (inhomogene of affiene) coördinaten). Dat punt heeft in ℜ3 plaatsvector (a/c,b/c,1) en λ(a/c,b/c,1) zijn alternatieve projectieve coördinaten. Zie O21.
Een lijn l waarvan de vergelijking (voor de eigenlijke punten) in inhomogene coördinaten ax1+bx2+c = 0 is, heeft in homogene coördinaten vergelijking ax1+bx2+cx3 = 0 (dit is de vergelijking van l als vlak in ℜ3). Zie weer O21.

Een kegelsnede k waarvan de vergelijking (voor de eigenlijke punten) in inhomogene coördinaten luidt a11x12 + a12x1x2 + a22x22 + a13x1 + a23x2 + a33 = 0, heeft in homogene coördinaten vergelijking a11x12 + a12x1x2 + a22x22 + a13x1x3 + a23x2x3 + a33x32 = 0 (dit is de vergelijking van k als kegel in ℜ3). Zie hiervoor §20.


O17 Vind de projectieve coördinaten van de verbindingslijn van twee punten λ(a1,a2,a3) en λ(b1,b2,b3).
Vind de projectieve coördinaten van het snijpunt van twee lijnen λ(l1,l2,l3) en λ(m1,m2,m3).

O18 Bepaal met behulp van een determinant de voorwaarde opdat de punten λ(a1,a2,a3), λ(b1,b2,b3) en λ(c1,c2,c3) collineair zijn.
En evenzo de voorwaarde opdat de lijnen λ(l1,l2,l3), λ(m1,m2,m3) en λ(n1,n2,n3) concurrent zijn.

O19 Formuleer de stelling van Desargues als een stelling uit de vectoranalyse: in termen van vectoren, inproducten, uitproducten en determinanten.

O20 Formuleer de stelling van Pappus als een stelling uit de vectoranalyse.

O21 Gegeven de lijnen l: λ(0,1,2), m: λ(1,1,0), n: λ(1,0,1), en de punten P: λ(2,-1,1), Q: λ(0,1,-1), R: λ(1,2,0).
a) Schets deze punten en lijnen in een van een assenstelsel voorzien vlak x3 = 1 (het vlak van uw papier).
b) Zij ψ: ll het product van de projecties van l via P naar m, van m via Q naar n, en van n via R terug naar l. Bereken de projectieve coördinaten van de dekpunten van ψ.


uitwerkingen


HOME