§ 17:

O65
Het snijpunt x.a is dekpunt, en ligt dus ook op x ' .
Voor een vrij te kiezen lijn l door C geldt: als X = x. l, dan X ' = x ' . l. Zie verder O14

O66
Zij A een reguliere lineaire transformatie van ℜ³ die φ induceert met A(0,0,1) = (0,0,1).
Dan volgt uit A(1,0,0) = (ρ,0,0), A(0,1,0) = (0,σ,0) en A(1,1,0) = (τ,τ,0) dat ρ = σ = τ.
Verder voert φ het punt (1,0,1) over in de vierde harmonische bij {(0,0,1),(1,0,0)} en (1,0,1); dit is (-1,0,1).
Dus A(1,0,1) = ω(-1,0,1). Ook geldt A(1,0,1) = A(1,0,0) + A(0,0,1) = (ρ,0,1). Dus ω = 1 en ρ = -1.
De matrix wordt dan ((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1)), dus φ is puntspiegeling tov (0,0,1) in {x₃ = 1}.

O67
Eis van drie punten op λ(1,1,1) dat ze in zichzelf overgaan, en van twee punten buiten λ(1,1,1) dat het beeldpunt op de lijn door dat punt en λ(0,1,-1) ligt. Er volgt dat de matrix de vorm ((p,0,0),(q,p+q,q),(-q,-q,p-q)) heeft.

O68
Ga na dat de bijbehorende lineaire transformaties een tweedimensionale eigenruimte hebben en een eendimensionale.
As λ(-1,9,3), centrum λ(-11,-2,1).

O69
As λ(1+√2,0,-1), centrum λ(1,0,1-√2).
Ga nu van één punt X na dat {X,X ' } het paar {C,S_X} harmonisch scheidt.
Alternatief: bepaal het kwadraat van de matrix en laat zien dat dit een veelvoud van de eenheidsmatrix is.

O70
Ga uit van een lineaire transformatie A met A(0,0,1) = (β,γ,1).
Als α=1 en (β,γ) ≠ (0,0) is er geen dekpunt buiten x₃=0.
De lijn door (0,0,1) en (β,γ,1) snijdt x₃=0 in het centrum (β,γ,0).