Oplossing Nieuwjaarsprobleem 2005-2006

KLIK HIER VOOR DE UITSLAG VAN DE PRIJSVRAAG EN DE OPLOSSINGEN DER INZENDERS.

HIER VOLGT NU MIJN EIGEN OPLOSSING.

We moeten de diophantische vergelijking x3 + 2*x2 = 2005*x + 20062y oplossen. We gebruiken hierbij dat linker- en rechterlid van een gelijkheid dezelfde priemfactoren hebben, met dezelfde multipliciteiten (hoofdstelling van de rekenkunde).

Stel x en y voldoen. Dan geldt:

x*(x+1)2 = 2006*(x + 2006*y).

Nu is 2006 = 2*17*59, dus elke priemfactor heeft multipliciteit 1 in 2006. Elk der priemfactoren van 2006 deelt ofwel x ofwel x+1.
Als een priemfactor p van 2006 tevens een deler is van x+1, dan is p2 een deler van (x+1)2. Dan deelt p2 het linkerlid en dus ook het rechterlid van de gelijkheid. Omdat p maar 1 keer in 2006 voorkomt, is p dan ook een deler van x + 2006*y, en dus ook van x.
Maar x en x+1 hebben geen priemfactor gemeen, dus elke priemfactor van 2006 deelt niet x+1, maar dan dus wel x.

Dus x = 2006*m voor zeker natuurlijk getal m. Dit geeft:

m*(2006*m + 1)2 = 2006*(m + y).

Aangezien een priemfactor p van 2006 niet 2006*m + 1 kan delen, en dus m moet delen, volgt:

m = 2006*k voor zeker natuurlijk getal k, en dus k*(20062k + 1)2 = 2006*k + y.

De oplossingen zijn dan: x = 20062*k, y = k*(20062k + 1)2 - 2006*k.

Maar y is altijd groter dan x.

Als x<10000000, dan k=1 en x=4024036 of k=2 en x=8048072.

Als men 2005 en 2006 vervangt door (resp.) 2006 en 2007=9*223, moet men onderscheiden tussen de gevallen "x is drievoud" en "x+1 is drievoud".

(Om terug te gaan naar de INTRODUCTIE van het probleem: klik hier.)