Stelling 27
Als een rechte lijn vallende op twee rechte lijnen de alternerende hoeken gelijk maakt aan elkaar, dan zijn de rechte lijnen parallel aan elkaar.
Stel dat de rechte lijn EF vallende op de twee rechte lijnen AB en CD de alternerende hoeken
AEF en EFD gelijk maakt aan elkaar.
Ik zeg dat AB parallel is aan CD.
Zo niet, dan snijden AB en CD elkaar na verlenging ofwel in de richting van B en D ofwel in de richting van A en C. Stel dat ze elkaar na verlenging snijden in de richting van B en D, in G.
Dan is in de driehoek GEF de buitenhoek AEF gelijk aan de tegenoverliggende binnenhoek EFG, hetgeen onmogelijk is. (Stell.16)
Daarom snijden AB en CD elkaar na verlenging niet in de richting van B en D.
Evenzo kan men bewijzen dat ze elkaar niet snijden in de richting van A en C.
Maar rechte lijnen die elkaar in geen van beide richtingen snijden zijn parallel. Daarom is AB parallel aan CD. (Def.23)
Daarom, als een rechte lijn vallende op twee rechte lijnen de alternerende hoeken gelijk maakt aan elkaar, dan zijn de rechte lijnen parallel aan elkaar.
Q.E.D.